Question

二次函數(shù)f（x）的圖象頂點為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）；
①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
②求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

解：（1）由條件設二次函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+16=ax²﹣2ax+a+16，
設f（x）=0的兩根為：x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵圖象在x軸上截得線段長為8，由韋達定理得：
（x₂﹣x₁）²=（x₂+x₁）²﹣4x₂x₁=（﹣2）²﹣4×a+16 a=64
解得a=﹣1，
∴函數(shù)的解析式為f（x）=﹣x²+2x+15．
（2）①∵f（x）=﹣x²+2x+15，
∴g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）=x²﹣2ax﹣15，而g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴對稱軸x=a在[0，2]的左側(cè)，
∴a≤0．所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤0}．
②g（x）=x²﹣2ax﹣15，x∈[0，2]，對稱軸x=a，
當a＞2時，g（x）_min=g（2）=4﹣4a﹣15=﹣4a﹣15，
當a＜0時，g（x）_min=g（0）=﹣15，
當0≤a≤2時，g（x）_min=g（a）=a²﹣2a²﹣15=﹣a²﹣15．