Question

【題目】已知函數(shù) .
（I）若曲線 存在斜率為-1的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）求 的單調(diào)區(qū)間；
（III）設函數(shù) ，求證：當 時， 在 上存在極小值.

Answer 1

【答案】解：（I）由 得 .
由已知曲線 存在斜率為-1的切線，所以 存在大于零的實數(shù)根，
即 存在大于零的實數(shù)根，因為 在 時單調(diào)遞增，
所以實數(shù)a的取值范圍 .
（II）由 可得
當 時， ，所以函數(shù) 的增區(qū)間為 ；
當 時，若 ， ，若 ， ，
所以此時函數(shù) 的增區(qū)間為 ，減區(qū)間為 .
（III）由 及題設得 ，
由 可得 ，由（II）可知函數(shù) 在 上遞增，
所以 ，取 ，顯然 ，
，所以存在 滿足 ，即存在 滿足 ，所以 ， 在區(qū)間（1，+∞）上的情況如下：

	－	0	+
	↘	極小	↗

所以當-1<a<0時，g（x）在（1，+∞）上存在極小值.
【解析】（1）由已知曲線 y = f ( x ) 存在斜率為-1的切線，等價于 f ' ( x ) = 1 存在大于零的實數(shù)根,結合二次方程實根的分布求a的范圍;
(2)先對函數(shù)求導,對參數(shù)a的取值分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)要證g ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上存在極小值,則g'(x)在對應區(qū)間中有異號零點,根據(jù)(2)的結論求得a的范圍.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．