Question

數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意n∈N*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且bn=

lnnx

an2

，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（1，e]（e是常數(shù)，e=2.71828…）和任意正整數(shù)n，總有T_n＜2．

Answer 1

（1）根據(jù)題意，對(duì)于任意n∈N*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列，則對(duì)于n∈N^*，總有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2Sn-1=an-1+an-1 2（n≥2）②
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）；
∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
又n=1時(shí)，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1
∴a_n=n．（n∈N^*）
（2）證明：由（1）的結(jié)論，a_n=n；對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
對(duì)于任意正整數(shù)n，總有bn=

lnnx

an2

≤

1

n2

．
∴Tn≤

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2
對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（1，e]（e是常數(shù)，e=2.71828…）和任意正整數(shù)n，總有T_n＜2