數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對于任意n∈N*，總有2Sn=an2+an．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)正數(shù)數(shù)列{cn}滿足an+1=（cn）n+1，（n∈N*），求數(shù)列{cn}中的最大項(xiàng)；
分析：（1）由已知可得2S
n-1=a
n-1+a
n-12（n≥2從而導(dǎo)出a
n+a
n-1=（a
n+a
n-1）（a
n-a
n-1）∵a
n，a
n-1均為正數(shù)，所以a
n-a
n-1=1（n≥2），由此推出a
n=n．
（2）由題設(shè)條件易得c
1＜c
2，c
2＞c
3＞c
4＞猜想n≥2時(shí)，{c
n}是遞減數(shù)列．令
f(x)=，則f′(x)==，能夠推出在[3，+∞）內(nèi)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．由
an+1=cnn+1知lncn=．由此能夠推出數(shù)列{c
n}中的最大項(xiàng)為
c2=．
解答：解：（1）由已知：對于n∈N
*，總有2S
n=a
n+a
n2①成立
∴2S
n-1=a
n-1+a
n-12（n≥2）②
①②得2a
n=a
n+a
n2-a
n-1-a
n-12∴a
n+a
n-1=（a
n+a
n-1）（a
n-a
n-1）∵a
n，a
n-1均為正數(shù)，
∴a
n-a
n-1=1（n≥2）
∴數(shù)列{a
n}是公差為1的等差數(shù)列又n=1時(shí)，2S
1=a
1+a
12，解得a
1=1．
∴a
n=n．
（2）解：由已知
a2=c12=2?c1=，
a3=c23=3?c2=，a4=c34=4?c3==，
a5=c45=5?c4=易得c
1＜c
2，c
2＞c
3＞c
4＞猜想n≥2時(shí)，{c
n}是遞減數(shù)列．
令
f(x)=，則f′(x)==∵當(dāng)x≥3時(shí)，lnx＞1，則1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）內(nèi)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)．
由
an+1=cnn+1知lncn=．
∴n≥2時(shí)，{lnc
n}是遞減數(shù)列．即{c
n}是遞減數(shù)列．
又c
1＜c
2，∴數(shù)列{c
n}中的最大項(xiàng)為
c2=．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．
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