Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x），g(x)=a+bx-

1

2

x2+

1

3

x3，函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象在交點（0，0）處有公共切線
（1）求a、b；
（2）證明：f（x）≤g（x）；
（3）對任意的x₁、x₂∈（-1，+∞），（x₁＜x₂），當x∈（x₁，x₂）時，證明：

f(x)-f(x1)

x-x1

＞

f(x)-f(x2)

x-x2

．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象在交點（0，0）處有公共切線，建立方程，可求a、b的值；
（2）令h（x）=f（x）-g（x），證明h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)，求得h（x）_max=h（0）=0，即可證得結(jié)論；
（3）設(shè)u（x）=（1+x）[f（x）-f（x₁）]-（x-x₁），證明當x∈（x₁，x₂）時，u（x）單調(diào)遞增，利用u（x₁）=0，可得u（x）＞0，從而可得

f(x)-f(x1)

x-x1

＞

1

1+x

，同理可證

f(x)-f(x2)

x-x2

＜

1

1+x

．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

1

1+x

，g′（x）=b-x+x²，
∵函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象在交點（0，0）處有公共切線
∴g（0）=0，f′（0）=g′（0）
∴a=0，b=1．                       …（4分）
（2）證明：令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x+

1

2

x2-

1

3

x3（x＞-1），∴h′（x）=-

x3

x+1

…（5分）
令h′（x）＞0可得-1＜x＜0；h′（x）＜0可得x＜-1或x＞0，∵x＞-1，∴x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)．                   …（6分）
∴h（x）_max=h（0）=0，
∴h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤g（x）．          …（8分）
（3）證明：設(shè)u（x）=（1+x）[f（x）-f（x₁）]-（x-x₁），則u′（x）=ln（1+x）-ln（1+x₁）．
當x∈（x₁，x₂）時，u′（x）＞0，u（x）單調(diào)遞增，
又u（x₁）=0，故u（x）＞0，即

f(x)-f(x1)

x-x1

＞

1

1+x

．                        …（10分）
設(shè)v（x）=（1+x）[f（x₂）-f（x）]-（x₂-x），則v′（x）=ln（1+x₂）-ln（1+x）．
當x∈（x₁，x₂）時，v′（x）＞0，v（x）單調(diào)遞增，
又v（x₂）=0，故v（x）＞0，即

f(x)-f(x2)

x-x2

＜

1

1+x

．                
綜上，x∈（x₁，x₂）時，證明：

f(x)-f(x1)

x-x1

＞

f(x)-f(x2)

x-x2

．    …（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查不等式的證明，正確構(gòu)建函數(shù)，合理運用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．