Question

【題目】一吊燈下沿圓環(huán)直徑為米，通過拉鏈、、、（、、是圓上三等份點(diǎn)）懸掛在處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2米，如圖所示.

（1）為使拉鏈總長最短，應(yīng)多長？

（2）為美觀與安全，在圓環(huán)上設(shè)置，，……，（）各等分點(diǎn)，仍按上面方法連接．若還要求拉鏈總長度最短，對比（1）時C點(diǎn)位置，此時C點(diǎn)將會上移還是會下移?請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的位置將下移.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)離天花板米（），拉鏈總長度為米,利用所給圖,得到,其導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求出取何值時,最小；（2）當(dāng)在圓環(huán)上設(shè)置個點(diǎn)時,拉鏈的總長為,同樣利用導(dǎo)數(shù)求出取何值時,最小.并與（1）中值比較,可知點(diǎn)的位置移動情況.

試題解析：

（1）設(shè)離天花板米（），拉鏈總長度為米，由題意、、、四點(diǎn)構(gòu)成一個正三棱錐，、、為該三棱錐的三條棱側(cè)，三棱錐的高

.于是有，對其求導(dǎo)，得.

當(dāng)時，，解得時，，

時，，時，即米時，取最小值米.

（2）由（1）可知，當(dāng)在圓環(huán)上設(shè)置個點(diǎn)時，拉鏈的總長為：，求導(dǎo)得，當(dāng)時，.解之得，因?yàn)?/span>只有一個極值，所以時，拉鏈長最短.下面比較與的大小（其中），即，亦即得，所以點(diǎn)的位置將下移.