【題目】已知
是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，對任意
，
滿足如下兩個條件：①是
的倍數(shù)；②
.
（1）若
，
，寫出滿足條件的所有
的值；
（2）求證：當
時，
；
（3）求
所有可能取值中的最大值.
【答案】（1）
（2）見解析（3）85
【解析】
（1）根據(jù)
滿足的兩個條件即可得到滿足條件的所有
的值；
（2）由
，對于任意的
，有
. 當
時，
成立，即
成立；若存在使
，由反證法可得矛盾；（3）由（2）知
，因為
且是的倍數(shù)，可得
所有可能取值中的最大值.
（1）的值可取.
（2）由，對于任意的，有.
當時，，即
，即
.
則成立.
因為
是的倍數(shù)，所以當時，有成立.
若存在使，依以上所證，這樣的的個數(shù)是有限的，設其中最大的為
.
則
,
成立，因為
是的倍數(shù)，故
.
由
,得
.
因此當
時，.
（3）由上問知，因為且是的倍數(shù)，
所以
滿足下面的不等式：
，
.
則
,
, 
,
,
,
,
,
,
,
,當時，
這個數(shù)列符合條件.
故所求的最大值為85.
習題精選系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，某中學甲、乙兩班共有25名學生報名參加了一項 測試．這25位學生的考分編成的莖葉圖，其中有一個數(shù)據(jù)因電腦操作員不小心刪掉了（這里暫用x來表示），但他清楚地記得兩班學生成績的中位數(shù)相同．
（Ⅰ）求這兩個班學生成績的中位數(shù)及x的值；
（Ⅱ）如果將這些成績分為“優(yōu)秀”（得分在175分 以上，包括175分）和“過關”，若學校再從這兩個班獲得“優(yōu)秀”成績的考生中選出3名代表學校參加比賽，求這3人中甲班至多有一人入選的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，已知
為圓
的直徑，點
為線段上一點，且
，點
為圓上一點，且
．點
在圓所在平面上的正投影為點，
．
（1）求證：
；
（2）求二面角
的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（1）已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)=0，則
；
（2）已知
.
①化簡f(α)；
②若f(α)
，且
，求cos α－sin α的值；
③若
，求f(α)的值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
的側面
是平行四邊形，
，平面
平面，且
分別是
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）當側面是正方形，且
時，
（�。┣蠖娼�
的大��；
（ⅱ）在線段
上是否存在點
，使得
？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設函數(shù)
，
，數(shù)列
滿足條件:對于
，
，且
，并有關系式:
，又設數(shù)列
滿足
(
且
，).
（1）求證數(shù)列
為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）試問數(shù)列
是否為等差數(shù)列，如果是，請寫出公差，如果不是，說明理由；
（3）若
，記
，，設數(shù)列
的前
項和為
，數(shù)列的前項和為
，若對任意的，不等式
恒成立，試求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某射手每次射擊擊中目標的概率是
，且各次射擊的結果互不影響，假設這名射手射擊3次．
（1）求恰有2次擊中目標的概率；
（2）現(xiàn)在對射手的3次射擊進行計分：每擊中目標1次得1分，未擊中目標得0分；若僅有2次連續(xù)擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分．記
為射手射擊3次后的總得分，求的概率分布列與數(shù)學期望
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若不等式
在
時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當
時，證明：
.
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