Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過焦點(diǎn)作的垂線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，交拋物線于，（點(diǎn)在點(diǎn)，之間），記的面積為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求得直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，解得的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式可得，進(jìn)而得到所求拋物線方程；

（2）求得，設(shè)，，，，，，，，且，由向量垂直的坐標(biāo)表示可得，由三角形的勾股定理和三角形的面積公式可得，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得，再由兩直線垂直的條件，以及構(gòu)造函數(shù)法，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，計(jì)算可得所求最小值．

（1）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，

可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，

解得，即，，即，

拋物線的方程為；

（2）由（1）可得，

設(shè)，，，，且，

由題意可得，即，

又，即，

整理可得，

又，

則，即，

又的斜率存在且不為0，，聯(lián)立拋物線方程可得，

可得，，則

，

由，可得，即，可得，

則，

可令，，

顯然在遞增，且，

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

可得在遞減，在遞增，

可得時(shí)，取得最小值23．

即求的最小值為23．