Question

（2013•虹口區(qū)二模）如圖，PA⊥平面ABCD，PA=1，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=1，BC=2，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線PE與AB所成的角的大小；
（2）求四棱錐P-ABED的側(cè)面積．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點(diǎn)F，連EF、PF，可證，∠PEF的大小等于異面直線PE與AB所成的角或其補(bǔ)角的大小，由三角形的知識(shí)可得cos∠PEF，由反三角函數(shù)可得答案；（2）由題意分別求得各個(gè)邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得側(cè)面各個(gè)三角形的面積，求和可得側(cè)面積．

解答：解：（1）取AD的中點(diǎn)F，連EF、PF．

∵EF∥AB，∴∠PEF的大小等于異面直線PE與AB所成的角或其補(bǔ)角的大�。�…（2分）
由PA=1，AB=BE=1，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，得EF=1，AE=

2

，PF=

2

，PE=

3

，
∴cos∠PEF=

3+1-2

2 3

=

3

3

．…（5分）
∴異面直線PE與AB所成的角的大小等于arccos

3

3

．…（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，PA=1，AB=1，AD=1，S△PAB=

1

2

，S_△PAD=1．
∵PA⊥BE，BE⊥AB，∴BE⊥平面PAB，∴BE⊥PB，PB=

2

，S△PBE=

2

2

．…（9分）
連AE，由AB=BE=1，得AE=

2

，同理DE=

2

，PE=

PA2+AE2

=

3

，
又PD=

PA2+AD2

=

5

，∴PE²+DE²=PD²，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，
∴S△PED=

6

2

．
∴四棱錐P-ABED的側(cè)面積為

3+ 2 + 6

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角，涉及椎體的側(cè)面積，屬中檔題．