Question

(08年安徽卷理)（本小題滿分13分）

設(shè)數(shù)列滿足,其中為實(shí)數(shù)。

（Ⅰ）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是,

(Ⅱ)設(shè),證明：;

(Ⅲ)設(shè),證明：

Answer 1

本題主要考查等比數(shù)列的求和、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題和解決問題的能力.本小題滿分13分.

【解析】（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.

充分性：設(shè)，對(duì)任意用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)時(shí)，.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則，且，.

由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)任意成立.

(Ⅱ) 設(shè)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

當(dāng)時(shí)，∵，∴.

∵，由（Ⅰ）知，∴且，

∴，

∴.

(Ⅲ)設(shè),當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

當(dāng)時(shí)，由(Ⅱ)知，

∴.

∴

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