Question

設(shè)a、b為正數(shù)，求證：

不等式＞①成立的充要條件件是：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x＞1，有ax＋＞b．②

Answer 1

答案：
解析：

思路　　只需證不等式②對(duì)x∈(1，＋∞)恒成立的充要條件是不等式①成立，可考慮用最值法． 　　解答　　設(shè)f(x)＝ax＋(x＞1)， 　　那么不等式②對(duì)x∈(1，＋∞)恒成立的充要條件是函數(shù)f(x)(x＞1)的最小值大于b． 　　因?yàn)閒(x)＝ax＋1＋＝(a＋1)＋a(x－1)＋≥(a＋1)＋2＝(＋1)2． 　　當(dāng)且僅當(dāng)a(x－1)＝，x＝1＋時(shí)，上式等號(hào)成立．故f(x)的最小值是(＋1)2． 　　因此，不等式②對(duì)x＞1但成立的充要條件是(＋1)2＞b＋1＞． 　　評(píng)析　　本題應(yīng)用了命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即“如果A是B成立的充要條件，那么B也是A成立的充要條件”．