Question

（2013•松江區(qū)一模）定義變換T將平面內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）（x≥0，y≥0）變換到平面內(nèi)的點(diǎn)Q(

x

，

y

)．
若曲線C0：

x

4

+

y

2

=1(x≥0，y≥0)經(jīng)變換T后得到曲線C₁，曲線C₁經(jīng)變換T后得到曲線C₂…，依此類推，曲線C_n-1經(jīng)變換T后得到曲線C_n，當(dāng)n∈N^*時(shí)，記曲線C_n與x、y軸正半軸的交點(diǎn)為A_n（a_n，0）和B_n（0，b_n）．某同學(xué)研究后認(rèn)為曲線C_n具有如下性質(zhì)：
①對任意的n∈N^*，曲線C_n都關(guān)于原點(diǎn)對稱；
②對任意的n∈N^*，曲線C_n恒過點(diǎn)（0，2）；
③對任意的n∈N^*，曲線C_n均在矩形OA_nD_nB_n（含邊界）的內(nèi)部，其中D_n的坐標(biāo)為D_n（a_n，b_n）；
④記矩形OA_nD_nB_n的面積為S_n，則

lim

n→∞

Sn=1
其中所有正確結(jié)論的序號是

③④

．

Answer 1

分析：曲線C0：

x

4

+

y

2

=1(x≥0，y≥0)利用T變換即可得出曲線C₁，曲線C₁經(jīng)變換T后得到曲線C₂…，即得到要求的圖形的方程，
對四個(gè)命題逐一討論，進(jìn)而得到正確結(jié)論．

解答：解：由于C0：

x

4

+

y

2

=1(x≥0，y≥0)，
故曲線C₀與x、y軸正半軸的交點(diǎn)為A（4，0）和B（0，2）．
由于變換T將平面內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）（x≥0，y≥0）變換到平面內(nèi)的點(diǎn)Q(

x

，

y

)．
則由題意知a1=2，b1=

2

，an=

an-1

，bn=

bn-1

故an=a1 

1

2n-1

=4 

1

2n

，bn=b1 

1

2n-1

=2 

1

2n

 
則Cn：

x

4  1 2n

+

y

2  1 2n

=1(x≥0，y≥0)，
顯然曲線C_n不關(guān)于原點(diǎn)對稱；曲線C_n不過點(diǎn)（0，2）；
曲線C_n均在矩形OA_nD_nB_n（含邊界）的內(nèi)部，其中D_n的坐標(biāo)為D_n（a_n，b_n）；
故①②錯(cuò)誤，③正確．
記矩形OA_nD_nB_n的面積為S_n，則Sn=4 

1

2n

×2 

1

2n

故

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(4 

1

2n

×2 

1

2n

)=1，故④正確．
故答案為：③④

點(diǎn)評：熟練掌握變換的方法是解題的關(guān)鍵．