Question

（2012•信陽模擬）已知定點A（-1，0）、B（1，0），動點M滿足：

AM

•

BM

等于點M到點C（0，1）距離平方的k倍．
（Ⅰ）試求動點M的軌跡方程，并說明方程所表示的曲線；
（Ⅱ）當k=2時，求|

AM

+2

BM

|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）先設M（x，y），可求

AM

，

BM

，結(jié)合題意可知

AM

•

BM

=k

MC

2，代入睜開可求點M的軌跡方程
（II）當k=2時，由（I）可得方程可化為x²+（y-2）²=1，而|

AM

+2

BM

|=

(3x-1)2+9y2

，結(jié)合M的參數(shù)方程可求滿足題意的最值

解答：解：（I）設M（x，y），則

AM

=（x+1，y），

BM

=（x-1，y）
由題意可得，

AM

•

BM

=k

MC

2
即（x+1，y）•（x-1，y）=k[x²+（y-1）²]
整理可得，（1-k）））x²+（1-k）y²+2ky=1+k即為所求的動點軌跡方程
①k=1時，方程化為y=1，表示過（0，1）且與x軸平行的直線
②當k≠1時，方程可化為x2+(y+

k

1-k

)2=

1

(1-k)2

表示以（0，

k

k-1

）為圓心，以|

1

1-k

|為半徑的圓
（II）當k=2時，方程可化為x²+（y-2）²=1
|

AM

+2

BM

|=

(3x-1)2+9y2

=

9x2-6x+1+9y2

=

9(x2+y2)-6x+1

=

9(4y-3)-6x+1

=

36y-6x-26

設

x=cosθ y=2+sinθ

則|

AM

+2

BM

|=

46+36sinθ-6cosθ

=

46+6 37 sin(θ+α)

sinα=- 1 37 cosα= 6 37

∴

37

-3=

46-6 37

≤|

AM

+2

BM

|≤

46+6 37

=

37

+3
∴求|

AM

+2

BM

|的最大值為3+

37

，最小值

37

-3

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量的性質(zhì)的應用及點的軌跡方程的求解，圓的 參數(shù)方程的求解等知識的綜合應用