Question

已知橢圓方程

x2

16

+

y2

12

=1，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線l為對應(yīng)的準(zhǔn)線，直線l與x軸交于P點(diǎn)，MN為橢圓的長軸，過P點(diǎn)任作一條割線AB（如圖），則∠AFM與∠BFN的大小關(guān)系為（　　）

A．∠AFM＞∠BFN

B．∠AFM＜∠BFN

C．∠AFM=∠BFN

D．無法判斷

Answer 1

分析：當(dāng)AB斜率為0時(shí)，顯然∠AFM=∠BFN成立；當(dāng)AB斜率不為0時(shí)，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，進(jìn)而可得直線AF，BF的斜率的和為0，從而可得結(jié)論．

解答：解：當(dāng)AB的斜率為0時(shí)，顯然∠AFM=∠BFN=0．
當(dāng)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程，整理得（3m²+4）y²-48my+144=0
則△=（48m）²-4×144（3m²+4），
∴y₁+y₂=

48m

3m2+4

，y₁y₂=

144

3m2+4

∴k_AF+k_BF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(my2-6)

=

2m× 144 3m2+4 -6× 48m 3m2+4

(my1-6)(my2-6)

=0
∴k_AF+k_BF=0，從而∠AFM=∠BFN．
綜上可知：恒有∠AFM=∠BFN．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查斜率的計(jì)算，屬于中檔題．