Question

若對任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一確定的f（x，y）與之對應，則稱f（x，y）為關于x，y的二元函數．
定義：滿足下列性質的二元函數f（x，y）為關于實數x，y的廣義“距離”：
（1）非負性：f（x，y）≥0，當且僅當x=y時取等號；
（2）對稱性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對任意的實數z均成立．
給出三個二元函數：①f（x，y）=（x-y）²；②f（x，y）=|x-y|； ③f（x，y）=

x-y

．
請選出所有能夠成為關于x，y的廣義“距離”的序號______．

Answer 1

對于①，不妨令x-y=2，則有x-

x+y

2

=

x+y

2

-y=1，此時有（x-y）²=4，而�。▁-

x+y

2

）²=（

x+y

2

-y）²=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不滿足三角不等式，故①不滿足
對于②，f（x，y）=|x-y|≥0滿足（1）；f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|滿足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）滿足（3），故②能夠成為關于的x、y的廣義“距離”的函數
對于③，由于x-y＞0時，f(y，x)=

y-x?

無意義，故③不滿足
故答案為：②