Question

已知函數(shù)f(x)=

1 |x-1 x≠1 1         x=1

，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+bf（x）+c=0的5個(gè)不同實(shí)數(shù)解恰能構(gòu)成等差數(shù)列，則b的值等于（　�。�

• A、-1
• B、-2
• C、-3或-

  3

  2

• D、-3

Answer 1

分析：設(shè)方程的解為f₁，f₂，因?yàn)楣参鍌�(gè)實(shí)根以及f（x）的對稱性，不妨設(shè)f（x）=f₁有三個(gè)實(shí)根，則有一根為1，即f（x）=1，進(jìn)而求得x₁，x₂，x₃，又根據(jù)x₄-1=1-x₅和5個(gè)不同實(shí)數(shù)解恰能構(gòu)成等差數(shù)列，進(jìn)而確定x₄和x₅的值，求得f₂，最后根據(jù)韋達(dá)定理求得b．

解答：解：[f（x）]²+bf（x）+c=0是一個(gè)關(guān)于f（x）的二次方程，設(shè)它的解為f₁，f₂
得到方程
f（x）=f₁
或f（x）=f₂
因?yàn)楣参鍌�(gè)實(shí)根以及f（x）的對稱性，
不妨設(shè)f（x）=f₁有三個(gè)實(shí)根
則有一根為1
f（x）=1
∴x₁=1，x₂=2，x₃=0
則f（x）=f₂的解為x₄，x₅
∴x₄-1=1-x₅
即x₄+x₅=2
∵5個(gè)不同實(shí)數(shù)解恰能構(gòu)成等差數(shù)列，
只有x₄=-1，x₅=3和x₄=

1

2

，x₅=

3

2

時(shí)符合題意
∴f₂=

1

2

或2
∵-b=f₁+f₂，
∴b=-3或-

3

2

故選C

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)根的判斷和分段函數(shù)的應(yīng)用．需要利用函數(shù)的對稱性來分析根的分布，屬中檔題．