Question

【題目】設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．

（1）若，求的取值范圍；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(3) 當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）先由可得，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論可得的解，進(jìn)而可得的取值范圍；（2）先寫函數(shù)的解析式，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）先由（2）得函數(shù)的最小值，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論確定在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

試題解析：（1），因?yàn)?/span>，所以，

當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)，則有，所以.所以.

綜上所述，的取值范圍是.

（2）

對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開口向上，

所以在上單調(diào)遞增；

對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開口向上，

所以在上單調(diào)遞減.

綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.

(i)當(dāng)時(shí)，，

令，即（）.

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以

而在上單調(diào)遞增，，所以與在無交點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，即當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).

(ii)當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，，而在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，.下面比較與的大小

因?yàn)?/span>

所以

結(jié)合圖象不難得當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).