Question

【題目】如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，平面平面，，為的中點(diǎn)，在棱上，且.

（1）求證：平面；

（2）若為的中點(diǎn)，問上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，說明點(diǎn)的位置；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，由三角形中位線和已知長度關(guān)系可知且為中點(diǎn)，三線合一得到；由面面垂直性質(zhì)可得平面，由線面垂直性質(zhì)知；由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；

（2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，由線面平行的性質(zhì)可知；根據(jù)重心的性質(zhì)可得到比例關(guān)系，即，從而可說明存在點(diǎn).

（1）取中點(diǎn)，連接

分別為中點(diǎn)

又，

，即為中點(diǎn)

為等邊三角形，為中點(diǎn)

平面平面，平面平面 平面

平面

平面， 平面

（2）假設(shè)上存在點(diǎn)，使得平面

連接，交于點(diǎn)，連接

平面，平面，平面平面

為等邊的兩條中線 為的重心

，即

存在點(diǎn)，滿足時，平面