Question

已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和α相交，并且和a、b、c三條直線成等角．

求證：l⊥α

Answer 1

解析:

證法一：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO = BO = CO．設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中，

∵ PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC，

∴ △POA≌△POB≌△POC

∴ PA = PB = PC．取AB中點(diǎn)D．連結(jié)OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB，

∵

∴ AB⊥平面POD

∵ PO平面POD．

∴ PO⊥AB．

同理可證  PO⊥BC

∵ ，，

∴ PO⊥α，即l⊥α

若l不經(jīng)過O時(shí)，可經(jīng)過O作∥l．用上述方法證明⊥α，

∴ l⊥α．

證法二：采用反證法

假設(shè)l不和α垂直，則l和α斜交于O．

同證法一，得到PA = PB = PC．

過P作于，則，O是△ABC的外心．因?yàn)?i>O也是△ABC的外心，這樣，△ABC有兩個外心，這是不可能的．

∴ 假設(shè)l不和α垂直是不成立的．

∴ l⊥α

若l不經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)，過O作∥l，用上述同樣的方法可證⊥α，

∴ l⊥α

評述：（1）證明線面垂直時(shí)，一般都采用直接證法（如證法一），有時(shí)也采用反證法（如證法二）或同一法．