Question

【題目】設(shè)

.

（1）求

在

處的切線(xiàn)方程；

（2）令

，求

的單調(diào)區(qū)間；

（3）若任意

且

，都有

恒成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

;（2）見(jiàn)解析;（3）

.

【解析】試題分析: (1)先確定對(duì)應(yīng)區(qū)間函數(shù)解析式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，可得切線(xiàn)斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)切線(xiàn)方程，(2)先根據(jù)函數(shù)定義域去掉絕對(duì)值，再求導(dǎo)數(shù)，為研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，需對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，利用二次求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)最大值為零，因此原函數(shù)單調(diào)遞減，即得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，（3）研究不等式恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵利用變量分類(lèi)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

等價(jià)于

，所以等價(jià)于

在

上是增函數(shù)，也即等價(jià)于

，再次變量分離得等價(jià)于

的最大值，最后利用導(dǎo)數(shù)求

最大值即可.

試題解析:

（1）

，

當(dāng)

時(shí)

，∴

，

則

在

處的切線(xiàn)方程為

，即

.

（2）

在定義域?yàn)?/span>

，∴

，則

，

令

，則

，

由

得

，

得

，則

在

上為增函數(shù)，

在

為減函數(shù)，即

在

上為增函數(shù)，在

為減函數(shù)，

∴

，

∴

在

上為減函數(shù)；

（3）據(jù)題意，當(dāng)

時(shí)，

恒成立，

∴當(dāng)

時(shí)，

恒成立，

∴

在

上是增函數(shù)，

∴

，

∴

，

令

，

∴

，

∴

在

上為減函數(shù)，

∴

，

∴

.