Question

（2009•奉賢區(qū)一模）A島正南40海里處的洋面B上有一條走私船．它正以10

5

海里/小時的速度朝北偏東θ(θ=arctan

1

2

)的方向作勻速直線方向逃走．3小時后有關部門接到報警并派輯私船從A島出發(fā)追擊走私船．如圖所示，建立平面直角坐標系，
（1）寫出3小時后走私船Q₁的坐標以及t小時后走私船Q_t的坐標
（2）已知輯私船的最大航速度為40

2

海里/小時，并假設走私船在逃走時不改變它的航向，輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間?

Answer 1

分析：（1）先求出t時刻甲、乙兩船對應的坐標；直接把t=3代入即可求出P、Q兩點的坐標；
（2）先根據(jù)余弦定理得到關于時間的等式，再解方程求出對應的時間，進而求出對應的方向．

解答：解：以A為原點，BA所在直線為y軸建立如圖所示的坐標系．
設在t時刻甲、乙兩船分別在P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則

x1=15 2 tcos45°=15t y1=x1=15t.

由θ=arctan

1

2

，可得cosθ=

2 5

5

，sinθ=

5

5

，
x₂=10

5

tsinθ=10t，y₂=10

5

tcosθ-40=20t-40．
（1）Q點的坐標分別為（30，20）；Q_t（10t，20t-40）（3+3分）
（2）由θ=arctan

1

2

，可得cosθ=

2 5

5

，
[40

2

(t-3)]2=402+(10

5

t)2-2×40×10

5

tcosθ（3分）
2t²-176t+272=0，t1=4，t2=

68

27

＜3（舍去）（2分）
所以所需時間4-3=1小時，（1分）
此時Q'（40，40），所以方向北偏東45⁰（2分）

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．解此類題常需將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型．在設計方案時，應以簡便、合理為原則．