Question

設函數(shù)=（為自然對數(shù)的底數(shù)），，記．

（1）為的導函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；

（2）若函數(shù)=0有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）在上單調(diào)遞增．（2）實數(shù)a的取值范圍是（0，2）。

【解析】

試題分析：（1），∴，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．

（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，而，

∴有唯一解，

的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

 

又∵函數(shù)有兩個零點，

∴方程有兩個根，即方程有兩個根 

而，，

解得．

所以，若函數(shù)有兩個零點，實數(shù)a的取值范圍是（0，2）

考點：本題主要考查了導數(shù)的運算，導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，函數(shù)零點。

點評：中檔題，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進一步判斷函數(shù)零點情況，提供了解答此類問題的一般方法。