【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面
是菱形,
.
(I)證明:;
(II)若,求直線
與平面
所成角的余弦值.
【答案】(I)見解析; (II) .
【解析】
(I)連接交
于點
,連接
,通過證明
以及
,證得
平面
,由此證得
,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知
.(II)先證得
平面
,由此以
為原點建立空間直角坐標系,通過計算直線
的方向向量以及平面
的法向量,由此求得線面角的正弦值,進而求得余弦值.
(I)證明:連接交
于點
,連接
,
因為四邊形為菱形,所以
且
為
中點,
所以平面
,
平面
,
為
中點,
為
的垂直平分線,
(II)已知,
,故
由(I)知則
,
又
又平面
故以為原點,
、
、
所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系
則、
、
、
設(shè)平面的一個法向量為
,則
,設(shè)
設(shè)直線與平面
所成角為
則
故直線與平面
所成角的余弦值為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上無零點,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下圖是某市年至
年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額
(單位:億元)的條形圖.
(1)若從年到
年的五年中,任意選取兩年,則這兩年的投資額的平均數(shù)不少于
億元的概率;
(2)為了預測該市年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了
與時間變量
的兩個線性回歸模型.根據(jù)
年至
年的數(shù)據(jù)(時間變量
的值依次為
)建立模型①:
;根據(jù)
年至
年的數(shù)據(jù)(時間變量
的值依次為
)建立模型②:
.
(i)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值;
(ii)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】先后拋擲一枚骰子兩次,將出現(xiàn)的點數(shù)分別記為.
(1)設(shè)向量,
,求
的概率;
(2)求在點數(shù)之和不大于5的條件下,
中至少有一個為2的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系內(nèi),已知點,圓
的方程為
,點
是圓
上任意一點,線段
的垂直平分線
和直線
相交于點
.
(1)當點在圓上運動時,求點
的軌跡方程;
(2)過點能否作一條直線
,與點
的軌跡交于
兩點,且點
為線段
的中點?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過拋物線的焦點
且斜率為1的直線與拋物線
交于
、
兩點,且
.
(1)求拋物線的方程;
(2)點是拋物線
上異于
、
的任意一點,直線
、
與拋物線
的準線分別交于點
、
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】[2019·武漢六中]袋子中有四個小球,分別寫有“武、漢、軍、運”四個字,從中任取一個小球,有放回抽取,直到取到“軍”“運”二字就停止,用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率:利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù),分別用0,1,2,3代表“軍、運、武、漢”這四個字,以每三個隨機數(shù)為一組,表示取球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下16組隨機數(shù):
232 321 230 023 123 021 132 220
231 130 133 231 331 320 122 233
由此可以估計,恰好第三次就停止的概率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定點M(-3,0),Q、P分別是x軸、y軸上的動點,且使MP⊥PQ,點N在直線PQ上,
(1)求動點N的軌跡C的方程.
(2)過點T(-1,0)作直線l與軌跡C交于兩點A、B,問:在x軸上是否存在一點D,使△ABD為等邊三角形;若存在,試求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】手機作為客戶端越來越為人們所青睞,通過手機實現(xiàn)衣食住行消費已經(jīng)成為一種主要的消費方式.在某市,隨機調(diào)查了200名顧客購物時使用手機支付的情況,得到如下的2×2列聯(lián)表,已知從使用手機支付的人群中隨機抽取1人,抽到青年的概率為.
(I)根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并根據(jù)此資料判斷是否有99.5%的把握認為“市場購物用手機支付與年齡有關(guān)”?
2×2列聯(lián)表:
青年 | 中老年 | 合計 | |
使用手機支付 | 120 | ||
不使用手機支付 | 48 | ||
合計 | 200 |
(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機支付”和“不使用手機支付”抽取一個容量為10的樣本,再從中隨機抽取3人,求這三人中“使用手機支付”的人數(shù)的分布列及期望.
附:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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