Question

已知函數(shù)，，．
（1）若，試判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求證函數(shù)存在反函數(shù)．

Answer 1

（1）增函數(shù)；（2）參考解析

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，.通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性的定義可證得函數(shù)，單調(diào)遞增.
（2）由，所以將x的區(qū)間分為兩類即和.所以函數(shù).由（1）可得函數(shù)是遞增函數(shù).應(yīng)用單調(diào)性的定義同樣可得函數(shù)是遞增.根據(jù)反函數(shù)的定義可得函數(shù)存在反函數(shù).
試題解析：(1)判斷：若，函數(shù)在上是增函數(shù).
證明：當(dāng)時(shí)，，
在上是增函數(shù).2分
在區(qū)間上任取，設(shè)，

所以，即在上是增函數(shù).6分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043948229480.png" style="vertical-align:middle;" />，所以8分
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，9分
證明：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)（過(guò)程略）11分
在在上也是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，上是增函數(shù)12分
所以任意一個(gè)，均能找到唯一的和它對(duì)應(yīng)，
所以時(shí)，存在反函數(shù)14分