Question

設O為坐標原點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點，若在雙曲線上存在點P，滿足∠F1PF2=60°，|OP|=

10

a，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A、x±

  3

  y=0
• B、

  3

  x±y=0
• C、x±

  2

  y=0
• D、

  2

  x±y=0

Answer 1

分析：由題意得

PO

=

PF1 + PF2

2

，平方后利用雙曲線的定義求得|PF₁|•|PF₂|=12a²，△PF₁F₂中，由余弦定理求得 c²=4a²，故

b

a

=

3

，可得雙曲線的漸近線方程．

解答：解：由題意得 F₁ （-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則由題意得

PO

=

PF1 + PF2

2

，
∴

PO

2=10 a²=

PF1 2+  P F2 2+2 PF1 • PF2

4

=

(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|•|PF2|+2•|PF1|•|PF2|cos60°

4

=

4a2+3•|pF1|•|PF2|

4

，
∴|PF₁|•|PF₂|=12a²．
△PF₁F₂中，由余弦定理得  （2c）²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos60° 
=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|=4a²+12a²=16a²．
∴c²=4a²，a²+b²=4a²，∴

b

a

=

3

，故雙曲線的漸近線方程為

3

x±y=0，
故選B．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，求出|PF₁|•|PF₂|=12a² 是解題的難點．