Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=cos2x，二次函數(shù)g（x）滿足g（0）=4，且對任意的x∈R，不等式﹣3x2﹣2x+3≤g（x）≤4x+6成立，則函數(shù)f（x）+g（x）的最大值為（ ）
A.5
B.6
C.4
D.7

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵二次函數(shù)g（x）滿足g（0）=4， ∴設(shè)g（x）=ax2+bx+4，
由﹣3x2﹣2x+3≤4x+6得3x2+6x+3≥0即3（x+1）2≥0，
即當(dāng)x=﹣1時(shí)，3（x+1）2=0，此時(shí)直線y=4x+6與y=﹣3x2﹣2x+3相切，切點(diǎn)為（﹣1，2），
此時(shí)g（x）過（﹣1，2），則a﹣2b+4=2，得b= +1，
即g（x）=ax2+（ +1）x+4，
由﹣3x2﹣2x+3≤g（x）≤4x+6恒成立得
﹣3x2﹣2x+3≤ax2+（ +1）x+4≤4x+6，
由﹣3x2﹣2x+3≤ax2+（ +1）x+4得（a+3）x2+（ +3）x+1≥0恒成立，當(dāng)a=﹣3時(shí)，不滿足條件．
當(dāng)a≠﹣3時(shí)， ，得 得﹣2≤a≤6，
由ax2+（ +1）x+4≤4x+6得ax2+（ ﹣3）﹣2≤0恒成立，當(dāng)a=0時(shí)，不滿足條件．
當(dāng)a≠0時(shí)， ，得 ，得﹣18≤a≤﹣2，
綜上a=﹣2，
則g（x）=﹣2x2+4，當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)g（x）取得最大值4，
而當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=cos2x也取得最大值1，
則函數(shù)f（x）+g（x）=cos2x﹣2x2+4的最大值為1+4=5，
故選：A