Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)：，拋物線(xiàn)： （）．

（1）若直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的方程；

（2）已知拋物線(xiàn)上存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)和．

①求證：線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；

②求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見(jiàn)證明；②

【解析】

（1）求出拋物線(xiàn)C：y2＝2px （p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線(xiàn)l：x﹣y﹣4＝0，求得p值，則拋物線(xiàn)C的方程可求；

（2）設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)M（x0，y0）．由點(diǎn)P和Q關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，可設(shè)PQ的方程為y＝﹣x+b．

①聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，由判別式大于0可得p+2b＞0，分別求出P、Q的縱坐標(biāo)，可得M的縱坐標(biāo)．結(jié)合M（x0，y0）在直線(xiàn)l上，可得x0＝4﹣p，由此得到線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4﹣p，﹣p）；

②把M（4﹣p，﹣p）代入直線(xiàn)y＝﹣x+b上，得到b＝4﹣2p．結(jié)合p+2b＞0即可求得p的取值范圍．

（1）拋物線(xiàn)： （）的焦點(diǎn)為，

由點(diǎn)在直線(xiàn)：上得，即，

所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為

（2）設(shè)、，線(xiàn)段的中點(diǎn)．

因?yàn)辄c(diǎn)和關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段，

于是的方程可設(shè)為．

①由得（﹡），

因?yàn)?/span>和是拋物線(xiàn)上相異兩點(diǎn)，所以，

從而，化簡(jiǎn)得，方程（﹡）的兩根為

，從而．

因?yàn)?/span>在直線(xiàn)上，所以，

因此，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

②因?yàn)?/span>在直線(xiàn)上，

所以，即．

由①知，于是，所以，

即的取值范圍為.