Question

（2012•海淀區(qū)二模）某公司準(zhǔn)備將100萬元資金投入代理銷售業(yè)務(wù)，現(xiàn)有A，B兩個(gè)項(xiàng)目可供選擇：
投資A項(xiàng)目一年后獲得的利潤X₁（萬元）的概率分布列如下表所示：

X1	11	12	17
P	a	0.4	b

且X₁的數(shù)學(xué)期望E（X₁）=12；
投資B項(xiàng)目一年后獲得的利潤X₂（萬元）與B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格根據(jù)銷售情況在4月和8月決定是否需要調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且在4月和8月進(jìn)行價(jià)格調(diào)整的概率分別為p（0＜p＜1）和1-p．經(jīng)專家測(cè)算評(píng)估：B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X（次）與X₂的關(guān)系如下表所示：

X（次）	0	1	2
X2（萬元）	4.12	11.76	20.40

（1）求a，b的值；
（2）求X₂的分布列；
（3）若E（X₁）＜E（X₂），則選擇投資B項(xiàng)目，求此時(shí) p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得：

a+0.4+b=1 11a+12×0.4+17b=12.

由此能求出a，b的值．
（2）X₂的可能取值為4.12，11.76，20.40．分別求出P（X₂=4.12），P（X₂=11.76），P（X₂=20.40），由此能求出X₂的分布列．
（3）由（2）求出E（X₂）=-p²+p+11.76．因?yàn)镋（X₁）＜E（X₂），所以12＜-p²+p+11.76．由此能求出當(dāng)選擇投資B項(xiàng)目時(shí)，p的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：

a+0.4+b=1 11a+12×0.4+17b=12.

解得：a=0.5，b=0.1．…（3分）
（2）X₂的可能取值為4.12，11.76，20.40．…（4分）
P（X₂=4.12）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分）P(X2=11.76)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2，…（7分）
P（X₂=20.40）=p（1-p）．…（8分）
所以X₂的分布列為：

X2	4.12	11.76	20.40
P	p （1-p）	p2+（1-p）2	p （1-p）

…（9分）
（3）由（2）可得：E(X2)=4.12p(1-p)+11.76[p2+(1-p)2]+20.40p(1-p)
=-p²+p+11.76．…（11分）
因?yàn)镋（X₁）＜E（X₂），
所以12＜-p²+p+11.76．
所以0.4＜p＜0.6．
當(dāng)選擇投資B項(xiàng)目時(shí)，p的取值范圍是（0.4，0.6）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率知識(shí)的合理運(yùn)用．