Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別在BB₁，DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求證：A₁C⊥平面AEF；
（2）若AB=3，AD=4，AA₁=5，M是B₁C₁的中點(diǎn)，求AM與平面AEF所成角的大小；
（3）在（2）的條件下，求三棱錐D-AEF的體積．

Answer 1

分析：（1）證明A₁C⊥AE，A₁C⊥AF，利用線面垂直的判定，即可證得A₁C⊥面AEF；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示

A1C

，

AM

，利用向量的夾角公式，即可求得AM與平面AEF所成的角；
（3）先計(jì)算DF，再利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求得三棱錐D-AEF的體積．

解答：（1）證明：∵BC⊥面A₁B，∴A₁C在面A₁B上的射影為A₁B
∵A₁B⊥AE，AE?面A₁B，∴A₁C⊥AE，
同理A₁C⊥AF，
∵AE∩AF=A，
∴A₁C⊥面AEF．
（2）解：以C為原點(diǎn)，射線CD、CB、CC₁分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），A（3，4，0），A₁（3，4，5），M（0，2，5）．
∴

A1C

=（-3，-4，-5），

AM

=（-3，-2，5）
設(shè)

A1C

與

AM

的夾角為θ，則cosθ=

A1C • AM

| A1C || AM |

=-

4 19

95

∴AM與平面AEF所成的角大小為arcsin

4 19

95

．
（3）解：∵AF⊥A₁D，∴△A₁AD∽△ADF，∴

A1A

AD

=

AD

DF

，∴DF=

AD2

A1A

=

16

5

∴VD-AEF=VE-ADF=

1

3

×

1

2

×AD×DF×AB=

1

3

×

1

2

×4×

16

5

×3=

32

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面，考查三棱錐的體積，掌握線面垂直的判定，正確運(yùn)用向量法求線面角是關(guān)鍵．