Question

定義在（m，n）上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x），若當(dāng)x∈[a，b]?（m，n）時(shí)，有|f'（x）|≤1，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的平緩函數(shù)．下面給出四個(gè)結(jié)論：
①y=cosx是任何閉區(qū)間上的平緩函數(shù)；
②y=x²+lnx是[

1

2

，1]上的平緩函數(shù)；
③若f（x）=

1

3

x³-mx²-3m²x+1是[0，

1

2

]上的平緩函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-

3

3

，

1

2

]；
④若y=f（x）是[a，b]上的平緩函數(shù)，則有|f（a）-f（b）|≤|a-b|．
這些結(jié)論中正確的是

①③④

（多填、少填、錯(cuò)填均得零分）．

Answer 1

分析：根據(jù)平緩函數(shù)的定義逐個(gè)命題判斷即可．

解答：解：①中，y′=-sinx，|-sinx|=|sinx||≤1恒成立，所以y=cosx是任何閉區(qū)間上的平緩函數(shù)，故①正確；
②中，y′=2x+

1

x

，當(dāng)x=1時(shí)，|y′|=3＞1，不滿足平緩函數(shù)的定義，故②錯(cuò)誤；
③中，f′（x）=x²-2mx-3m²，
因?yàn)閒（x）是[0，

1

2

]上的平緩函數(shù)，所以|x²-2mx-3m²|≤1恒成立，即-1≤x²-2mx-3m²≤1恒成立，
亦即

x2-2mx-3m2+1≥0① x2-2mx-3m2-1≤0②

在[0，

1

2

]上恒成立，
對(duì)①式，
當(dāng)m＜0時(shí)，x²-2mx-3m²+1在[0，

1

2

]上單調(diào)遞增，最小值-3m²+1≥0，解得-

3

3

≤m≤

3

3

，
所以-

3

3

≤m＜0；
當(dāng)0≤m≤

1

2

時(shí)，x²-2mx-3m²+1的最小值-4m²+1≥0，解得-

1

2

≤m≤

1

2

，
所以0≤m≤

1

2

；
當(dāng)m＞

1

2

時(shí)，x²-2mx-3m²+1的最小值

1

4

-m-3m²+1≥0，解得-

5

6

≤m≤

1

2

，
所以此時(shí)m∈∅；
故對(duì)①式恒成立得，-

3

3

≤m≤

1

2

；
對(duì)②式，結(jié)合圖象，
只需當(dāng)x=0，

1

2

時(shí)，x²-2mx-3m²-1≤0，即

-3m2-1≤0 1 4 -m-3m2-1≤0

，解得m∈R，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-

3

3

，

1

2

]，故③正確；
④中，由于y=f（x）是[a，b]上的平緩函數(shù)，所以|f′（x）|≤1恒成立，
則存在點(diǎn)c∈（a，b），使得f′(c)=

f(a)-f(b)

a-b

，則|

f(a)-f(b)

a-b

|≤1，
所以|f（a）-f（b）|≤|a-b|，故④正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)問題的閱讀理解能力解決問題的能力．