Question

已知函數(shù)f(x)=

mx+n

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

（1）求實數(shù)m，n的值
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)
（3）解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，建立方程關(guān)系即可求實數(shù)m，n的值．
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0即可．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即

m(-x)+n

1+(-x)2

=-

mx+n

1+x2

，
∴n=0，
∵f(

1

2

)=

2

5

，
∴m=1
（2）由（1）得f(x)=

x

1+x2

，
設-1＜x₁＜x₂＜1，
則f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

x1(1+ x 2 2 )-x2(1+ x 2 1 )

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即 f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
（3）∵f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴由f（t-1）+f（t）＜0，
得：f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∵f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)
∴

-1＜t＜1 -1＜1-t＜1 t＜1-t

，
解得 0＜t＜

1

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用．