Question

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，且，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好落在的中點(diǎn)上.

（1）求證：；
（2）若，求直線與所成角的 余弦值；
（3）若平面與平面所成的二面角為，求的值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz，求出向量，的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式，驗(yàn)證其數(shù)量積與0的關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（2）由PO=BC，得h=a，求出向量，的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，即可求出直線PD與AB所成的角；
（3）求出平面APB與平面PCD的法向量，根據(jù)平面APB與平面PCD所成的角為60°，構(gòu)造關(guān)于h的方程，解方程即可得到的值．
試題解析：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034752748374.png" style="vertical-align:middle;" />中點(diǎn)為點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，所以平面．過(guò)作的平行線交與點(diǎn)，則.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系    2分

（1）設(shè)，，則
,．
∴．
∵， ∴ .                         6分
（2）由，得，于是
∵，                                8分
∴，
∴直線PD與AB所成的角的余弦值為.                            10分
（3）設(shè)平面PAB的法向量為，可得，
設(shè)平面PCD的法向量為，
由題意得，
∵∴令，得到，       12分
∴，                                   14分
∵平面與平面所成的二面角為，∴，解得，
即．                                                    16分