Question

【題目】如圖所示，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分別為CE，AB的中點．

(1)求證：OD∥平面ABC；

(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）通過證明線線平行得到線面平行；（2）C為原點，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ODM的一個法向量，利用直線與平面所成的角的公式，求出直線CD和平面ODM所成角的正弦值。

試題解析：(1)證明　如圖，取AC中點F，連接OF，FB.

∵F是AC中點，O為CE中點，

∴OF∥EA且OF＝EA.

又BD∥AE且BD＝AE，

∴OF∥DB且OF＝DB，

∴四邊形BDOF是平行四邊形，∴OD∥FB.

又∵FB平面ABC，OD平面ABC，

∴OD∥平面ABC.

(2)解　∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB平面ABDE，且BD⊥BA，

∴DB⊥平面ABC.

∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.

又△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，

∴∠ACB＝90°，

∴以C為原點，分別以CA，CB所在直線為x，y軸，以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

∵AC＝BC＝4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，2)，E(4，0，4)，O(2，0，2)，M(2，2，0)，

∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2)．

設(shè)平面ODM的法向量為n＝(x，y，z)，

則由n⊥，n⊥，可得

令x＝2，得y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1)．

設(shè)直線CD和平面ODM所成角為θ，

則sin θ＝＝＝＝.

∴直線CD和平面ODM所成角的正弦值為.