Question

己知x＞0，由不等式x+

1

x

≥ 2，x+

4

x2

=

x

2

+

x

2

+

4

x2

≥3，啟發(fā)我們可以推廣結(jié)論：x+

m

xn

≥n+1(n∈N+)，則m=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題條件：“由不等式x+

1

x

≥ 2，x+

4

x2

=

x

2

+

x

2

+

4

x2

≥3，”啟發(fā)我們可以對x+

m

xn

進行配湊：

x

n

+

x

n

+…+

x

n

+

m

xn

，再利用基本不等式得得出答案．

解答：解：由不等式x+

1

x

≥ 2，x+

4

x2

=

x

2

+

x

2

+

4

x2

≥3，
啟發(fā)我們可以對x+

m

xn

進行配湊：

x

n

+

x

n

+…+

x

n

+

m

xn

再利用基本不等式得：

x

n

+

x

n

+…+

x

n

+

m

xn

≥(n+1)

n+1	xn nn • m xn

，
當m=nⁿ時，

x

n

+

x

n

+…+

x

n

+

m

xn

≥(n+1)

n+1	xn nn • m xn

=n+1．
故答案為：nⁿ

點評：本題主要考查不等式的推廣、運用歸納進行推理的能力．解題的關(guān)鍵是理解歸納推理的意義，掌握歸納推理的方法．