Question

在一次射擊比賽中，某人向目標(biāo)射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為

2

3

，該目標(biāo)分為紅、藍(lán)、黃三個(gè)區(qū)域，三個(gè)區(qū)域面積之比為2：3：5，擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．
（1）設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）若目標(biāo)被擊中2次，A表示事件“紅色區(qū)域至少被擊中1次或藍(lán)色區(qū)域被擊中2次”，求P（A）．

Answer 1

分析：（1）由題意知目標(biāo)被擊中的次數(shù)X的取值是0、1、2、3、4，當(dāng)X=0時(shí)表示四次射擊都沒(méi)有擊中，當(dāng)X=1時(shí)表示四次射擊擊中一次，以此類推，理解變量取值不同時(shí)對(duì)應(yīng)的事件，用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式得到概率，寫(xiě)出分布列，算出數(shù)學(xué)期望；
（2）紅色區(qū)域至少被擊中1次或藍(lán)色區(qū)域被擊中2次所表示的事件，記出事件，根據(jù)事件之間的互斥關(guān)系，表示出事件，用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生和互斥事件的概率公式，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，X的取值為0，1，2，3，4．
P（X=0）=

C

0 4

(

1

3

)4=

1

81

，P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

．
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

．
P（X=4）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

．    …（4分）
即X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

…（5分）
EX=4×

2

3

=

8

3

．    …（6分）
（Ⅱ）設(shè)A₁表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中紅色區(qū)域”，A₂表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中藍(lán)色區(qū)域”，B₁表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中紅色區(qū)域”，B₂表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中藍(lán)色區(qū)域”
依題意可知P（A₁）=P（B₁）=0.2，P（A₂）=P（B₂）=0.3．…（8分）
A=A₁

.

B1

∪

.

A1

B₁∪A₁B₁∪A₂B₂
∴P（A）=P（A₁

.

B1

）+P（

.

A1

B₁）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂）
=0.2×0.8+0.8×0.2+0.2×0.2+0.3×0.3
=0.45．    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量和相互獨(dú)立事件的概率以及互斥事件的概率，解決離散型隨機(jī)變量分布列問(wèn)題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布．