Question

【題目】已知橢圓:的離心率為，左頂點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線：與橢圓交于不同兩點(diǎn),且滿足．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過作，垂足為，求的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題中條件及可得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去未知數(shù)得到關(guān)于的一元二次方程，判別式，設(shè)，則，，由有，，，所以，整理得，即，整理可得：，代入后可以得到，所以或，因?yàn)?/span>，所以，過定點(diǎn)； （Ⅲ）由（Ⅱ）知直線恒過定點(diǎn)，

，，所以的軌跡是以為直徑的圓（除點(diǎn)外），則的軌跡方程為

．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知

因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設(shè)

把，代入得：，4分

，

5分

若，則

8分

，，直線：，即直線恒過定點(diǎn)．9分

（Ⅲ）設(shè)，由（Ⅱ）知直線恒過定點(diǎn)，，，所以

的軌跡是以為直徑的圓（除點(diǎn)外），則的軌跡方程為．

12分