Question

已知函數(shù)，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設，若非零常數(shù)λ使得{b_n}為等差數(shù)列，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可將的解析式化簡為，進而由對數(shù)的運算性質(zhì)，結合，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）結合，且{b_n}為等差數(shù)列，可求出λ的值，進而求出數(shù)列{c_n}的通項公式，利用錯位相減法，得到數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
解答：解：（I）∵=+log₂x=log₂x+log₂x=
∴==，
故a_n=4n-3
（II）由（I）得S_n=2n²-n，要使=為等差數(shù)列的通項公式
則b_n=應是關于n的一次函數(shù)，又由λ≠0
故λ=-
此時b_n=2n，=2n•4ⁿ，
故T_n=2•4¹+2×2•4²+…+2（n-1）•4^n-1+2n•4ⁿ，…①
4T_n=0+2•4²+4•4³+…+2（n-1）•4ⁿ+2n•4ⁿ⁺¹，…②
①-②得：
-3T_n=2•4¹+2•4²+…+2•4ⁿ-2n•4ⁿ⁺¹=（-2n）4ⁿ⁺¹-
∴T_n=（n-）4ⁿ⁺¹+
點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式，對數(shù)的運算性質(zhì)，數(shù)列求和，是對數(shù)與數(shù)列的綜合應用，難度較大．