Question

【題目】【2017四川瀘州四診】如圖，平面平面，四邊形是菱形， .

（1）求證： ；

（2）若，且直線與平面所成角為，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

解：(1)連接，設(shè)，因?yàn)槠矫?/span>平面，且交線為，

因?yàn)?/span>，所以平面， 平面，所以平面平面，四邊形是菱形，所以，所以平面，所以，又，所以.

(2)解法一：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?/span>平面，即直線與平面所成角為，不妨設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)在內(nèi)作的平行線，則平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，所以，則，

所以，

設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，

同理可得平面的法向量為，

所以，因?yàn)槎�面�?/span>是銳角，所以其余弦值為.

解法二：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?/span>平面，又，所以平面，所以，即平面，所以，即是二面角的平面角，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，所以平面，即直線與平面所成角為，不妨設(shè)，則，因?yàn)?/span>∽，所以，又，所以，所以，所以二面角的余弦值為.