Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，CE交AD于點(diǎn)P．
（1）若AE=CD，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)MP∥平面EAB
（2）若AE=2，CD=1，求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得四邊形ACDE為矩形，點(diǎn)P為EC的中點(diǎn)．再取AC的中點(diǎn)為N，可證MN∥平面EAB，PN∥平面EAB，從而平面PMN∥平面EAB．再根據(jù)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可得直線(xiàn)MP∥平面EAB．
（2）先由條件判斷∠EBA即為銳二面角E-BC-A的平面角．直角三角形EAB中，由EA=AB=2，可得直角三角形EAB為等腰直角三角形，故∠EBA=45°，由此求得cos∠EBA 的值，即為所求．
解答：解：（1）∵AE=CD，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，故四邊形ACDE為矩形．
由CE交AD于點(diǎn)，P可得點(diǎn)P為EC的中點(diǎn)．
再取AC的中點(diǎn)為N，則MN為△ABC的中位線(xiàn)，PN為△ACE的中位線(xiàn)，故有MN∥AB，
而MN不在平面ABE中，AB在平面ANE中，故有MN∥平面EAB．
同理可證，PN∥平面EAB．
而MN和PN是平面PMN內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，故平面PMN∥平面EAB．
而MP在平面PMN內(nèi)，故MP∥平面EAB．
（2）Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，則有BC⊥平面EAB，
故∠EBA即為銳二面角E-BC-A的平面角．
直角三角形EAB中，由EA=AB=2，可得直角三角形EAB為等腰直角三角形，
故∠EBA=45°，∴cos∠EBA=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查證明直線(xiàn)和平面平行、2個(gè)平面平行的方法，2個(gè)平面平行的性質(zhì)，求二面角的平面角，屬于中檔題．