Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a--lnx，g（x）=ex-ex+1．

（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）若f（x）=0恰有一個(gè)解，求a的值；

（3）若g（x）≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】試題分析：（1）由f'（1）=0得切線斜率為1，進(jìn)而得切線方程；

（2）令m（x）=+lnx，求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性和最值，進(jìn)而得解；

（3）由（Ⅱ）知函數(shù)的最大值為f（1）=a-1，g（x）=ex-ex+1，求導(dǎo)可得函數(shù)g（x）的最小值為g（1）=1，得1≥a-1，進(jìn)而得解.

試題解析：

（1）∵a=2，∴，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切線方程為y=1；

（2）令m（x）=+lnx，∴m'（x）=-+，

∴當(dāng)x在（0，1）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）遞增，

當(dāng)x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）遞減，

故m（x）的最大值為m（1）=1，

f（x）=0恰有一個(gè)解，即y=a，與m（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，∴a=1；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)的最大值為f（1）=a-1，g（x）=ex-ex+1．g'（x）=ex-e，

∴當(dāng)x在（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減，

當(dāng)x在（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增，

∴函數(shù)g（x）的最小值為g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a-1，∴a≤2．