Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于， 兩點(diǎn).若直線斜率為 時(shí)， .

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)試問(wèn)以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（與直線的斜率無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

【解析】試題分析：第一問(wèn)根據(jù)橢圓的離心率和對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，求出對(duì)應(yīng)的的值，從而得出橢圓的方程，第二問(wèn)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得直線和直線的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而寫(xiě)出以為直徑的圓的方程，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，以及曲線過(guò)定點(diǎn)的條件，從而求得所過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，

∵直線斜率為時(shí)， ，

∴，

∴

∴，

∵，∴．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．

設(shè)，則，且，即，

∵，∴直線方程為： ，

∴，

直線方程為： ，∴，

以為直徑的圓為

即，

∵，∴，

令， ，解得，

∴以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)： ．