Question

【題目】已知點P是橢圓 在第一象限上的動點，過點P引圓x2+y2=4的兩條切線PA、PB，切點分別是A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點M、N，則△OMN面積的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：根據(jù)題意，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（x0 ， y0）， PA是圓的切線且切點為A，則PA的方程為x1x+y1y=4，
同理PB的方程為x2x+y2y=4，
又由PA、PB交與點P，則有x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
則直線AB的方程為x0x+y0y=4，
則M的坐標為（ ，0），N的坐標為（0， ），
S△OMN= |OM||ON|= ，
又由點P是橢圓 在第一象限上的動點，則有 + =1，
則有1= + ≥2 = |x0y0|，即|x0y0|≤4 ，
S△OMN= |OM||ON||= ≥ ，
即△OMN面積的最小值為 ；
故答案為： ．
根據(jù)題意，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（x0 ， y0），由圓的切線方程可得PA、PB的方程，而PA、PB交于P（x0 ， y0），由此能求出AB的直線方程，從而可得三角形的面積，利用基本不等式可求最值．