Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點，ABCE為菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G，F(xiàn)分別是線段CE，PB上的動點，且滿足．
（1）求證：PG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得二面角F-CD-G的余弦值為．

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面PBC內(nèi)過點F作直線FM∥PC，交BC于點M，連接MG，BE，則有，由，知GM∥BE，由E為AD的中點，ABCE為菱形，知BC∥DE，BC=DE，由此能夠證明FG∥平面PDC．
（2）取BC的中點為K，以點A為原點，射線AK為x軸正半軸，AD為y軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)PA=2，由，得，，，設(shè)平面FCD的法向量，由，，得，由平面GCD的法向量，二面角F-CD-G的余弦值為，知|cos＜＞|=||=，由此能求出λ．
解答：（1）證明：在平面PBC內(nèi)過點F作直線FM∥PC，交BC于點M，
連接MG，BE，則有，
∵，∴，∴GM∥BE，
∵E為AD的中點，ABCE為菱形，
∴BC∥DE，BC=DE，
∴CD∥BE∥GM，
∵FM∥PC，F(xiàn)M∩MG=M，且CD∩PC=C，
∴平面FGM∥平面PDC，
∵FG?平面FGM，∴FG∥平面PDC．

（2）解：取BC的中點為K，以點A為原點，射線AK為x軸正半軸，AD為y軸正半軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)PA=2，則A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，4，0），
由，得，，，
設(shè)平面FCD的法向量，則，，
即，
∴，
∵平面GCD的法向量，二面角F-CD-G的余弦值為，
∴|cos＜＞|=||=，
整理，得8λ²-14λ+5=0，
解得，或，
∵0＜λ＜1，∴．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，求實數(shù)的值，使得二面角的余弦值為定值．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運用．