Question

已知函數(shù)f₀（x）=

sinx

x

（x＞0），設(shè)f_n（x）為f_n-1（x）的導(dǎo)數(shù)，n∈N^*．
（1）求2f₁（

π

2

）+

π

2

f₂（

π

2

）的值；
（2）證明：對任意n∈N^*，等式|nf_n-1（

π

4

）+

π

4

f_n（

π

4

）|=

2

2

都成立．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由于求兩個函數(shù)的相除的導(dǎo)數(shù)比較麻煩，根據(jù)條件和結(jié)論先將原函數(shù)化為：xf₀（x）=sinx，然后兩邊求導(dǎo)后根據(jù)條件兩邊再求導(dǎo)得：2f₁（x）+xf₂（x）=-sinx，把x=

π

2

代入式子求值；
（2）由（1）得，f₀（x）+xf₁（x）=cosx和2f₁（x）+xf₂（x）=-sinx，利用相同的方法再對所得的式子兩邊再求導(dǎo)，并利用誘導(dǎo)公式對所得式子進(jìn)行化簡、歸納，再進(jìn)行猜想得到等式，用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式成立，主要利用假設(shè)的條件、誘導(dǎo)公式、求導(dǎo)公式以及題意進(jìn)行證明，最后再把x=

π

4

代入所給的式子求解驗證．

解答： 解：（1）∵f₀（x）=

sinx

x

，∴xf₀（x）=sinx，
則兩邊求導(dǎo)，[xf₀（x）]′=（sinx）′，
∵f_n（x）為f_n-1（x）的導(dǎo)數(shù)，n∈N^*，
∴f₀（x）+xf₁（x）=cosx，
兩邊再同時求導(dǎo)得，2f₁（x）+xf₂（x）=-sinx，
將x=

π

2

代入上式得，2f₁（

π

2

）+

π

2

f₂（

π

2

）=-1，
（2）由（1）得，f₀（x）+xf₁（x）=cosx=sin（x+

π

2

），
恒成立兩邊再同時求導(dǎo)得，2f₁（x）+xf₂（x）=-sinx=sin（x+π），
再對上式兩邊同時求導(dǎo)得，3f₂（x）+xf₃（x）=-cosx=sin（x+

3π

2

），
同理可得，兩邊再同時求導(dǎo)得，4f₃（x）+xf₄（x）=sinx=sin（x+2π），
猜想得，nf_n-1（x）+xf_n（x）=sin（x+

nπ

2

）對任意n∈N^*恒成立，
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式成立：
①當(dāng)n=1時，f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+

π

2

)成立，則上式成立；
②假設(shè)n=k（k＞1且k∈N^*）時等式成立，即kfk-1(x)+xfk(x)=sin(x+

kπ

2

)，
∵[kf_k-1（x）+xf_k（x）]′=kf_k-1′（x）+f_k（x）+xf_k′（x）
=（k+1）f_k（x）+xf_k+1（x）
又[sin(x+

kπ

2

)]′=cos(x+

kπ

2

)•(x+

kπ

2

)′
=cos(x+

kπ

2

)=sin(

π

2

+x+

kπ

2

)=sin[x+

(k+1)π

2

]，
∴那么n=k+1（k＞1且k∈N^*）時．等式(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin[x+

(k+1)π

2

]也成立，
由①②得，nf_n-1（x）+xf_n（x）=sin（x+

nπ

2

）對任意n∈N^*恒成立，
令x=

π

4

代入上式得，nf_n-1（

π

4

）+

π

4

f_n（

π

4

）=sin（

π

4

+

nπ

2

）=±cos

π

4

=±

2

2

，
所以，對任意n∈N^*，等式|nf_n-1（

π

4

）+

π

4

f_n（

π

4

）|=

2

2

都成立．

點評：本題考查了三角函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)公式和法則、誘導(dǎo)公式，以及數(shù)學(xué)歸納法證明命題、轉(zhuǎn)化思想等，本題設(shè)計巧妙，題型新穎，立意深刻，是一道不可多得的好題，難度很大，考查了學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力，以及邏輯思維能力．