Question

【題目】如圖，在半徑為的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD（點(diǎn)A、B在直徑上，點(diǎn)C、D在半圓周上），并將其卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱體罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），

（1）若要求圓柱體罐子的側(cè)面積最大，應(yīng)如何截��？

（2）若要求圓柱體罐子的體積最大，應(yīng)如何截��？

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊為為時(shí)，圓柱體罐子的側(cè)面積最大．

（2）當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊為為時(shí)，圓柱體罐子的體積最大．

【解析】解：（1）如圖，設(shè)圓心為O，連結(jié)，設(shè) ，

法一 易得， ，故所求矩形的面積為

（）

（當(dāng)且僅當(dāng)， （）時(shí)等號(hào)成立） 此時(shí) ；

法二 設(shè)， ； 則， ，

所以矩形的面積為，

當(dāng)，即時(shí)， （）此時(shí) ；

（2）設(shè)圓柱的底面半徑為，體積為，由得， ，

所以，其中，

由得，此時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 故當(dāng) 時(shí)，體積最大為 ，

答：（1）當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊為 為時(shí)，圓柱體罐子的側(cè)面積最大．

（2）當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊為 為時(shí)，圓柱體罐子的體積最大．