Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2x+b）ex ， F（x）=bx﹣lnx，b∈R．
（1）若b＜0，且存在區(qū)間M，使f（x）和F（x）在區(qū)間M上具有相同的單調性，求b的取值范圍；
（2）若F（x+1）＞b對任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（2x+b）ex，f′（x）=（2x+b+2）ex，

∴當x∈（﹣∞，﹣ ）時，f′（x）＜0，當x∈（﹣ ，+∞）時，f′（x）＞0，

∴f（x）的減區(qū)間為（﹣∞，﹣ ），增區(qū)間為（﹣ ，+∞）．

F（x）的定義域為（0，+∞），且F′（x）=b﹣ ．

∵b＜0，∴F′（x）＜0，則F（x）在定義域（0，+∞）上為減函數(shù)，

要使存在區(qū)間M，使f（x）和F（x）在區(qū)間M上具有相同的單調性，

則 ＞0，即b＜﹣2．

∴b的取值范圍是（﹣∞，﹣2）

（2）解：F（x+1）=b（x+1）﹣ln（x+1）．

要使F（x+1）＞b對任意x∈（0，+∞）恒成立，即bx﹣ln（x+1）＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，

令g（x）=bx﹣ln（x+1），則g′（x）=b﹣ （x＞0）．

若b≤0，則g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，而g（0）=0，不合題意；

若0＜b＜1，則當x∈（0， ）時，g′（x）＜0，當x∈（ ，+∞）時，g′（x）＞0，

∴ =1﹣b+lnb＞0，得b∈；

若b≥1，則 ，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，

g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，g（x）＞g（0）=0．

綜上，b的取值范圍是[1，+∞）

【解析】（1）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，由導函數(shù)的符號求得函數(shù)的單調區(qū)間，再求出函數(shù)F（x）的導函數(shù)，由b＜0，可得F′（x）＜0，則F（x）在定義域（0，+∞）上為減函數(shù)，要使存在區(qū)間M，使f（x）和F（x）在區(qū)間M上具有相同的單調性，需 ＞0，求解可得b的范圍；（2）由F（x+1）＞b對任意x∈（0，+∞）恒成立，可得bx﹣ln（x+1）＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=bx﹣ln（x+1），求導可得b≤0時，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，而g（0）=0，不合題意；0＜b＜1時， =1﹣b+lnb＞0，得b∈；b≥1時，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，g（x）＞g（0）=0成立，從而可得b的取值范圍．