Question

（2012•青島一模）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-x．
（1）若不等式f（x）＜k-2005對于x∈[-2，3]恒成立，求最小的正整數(shù)k；
（2）令函數(shù)g(x)=f(x)-

1

2

ax2+x(a≥2)，求曲線y=g（x）在（1，g（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=

1

3

x3-x，知f′（x）=x²-1，令f′（x）=0，得x=±1，由此得到f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值為f（3）=6，故要使得不等式f（x）＜k-2005對于x∈[-2，3]恒成立，等價于6＜k-2005恒成立，由此能求出最小的正整數(shù)k．
（2）由g（x）=f（x）-

1

2

ax2+x=

x3

3

-

ax2

2

，知g′（x）=x²-ax，g（1）=

1

3

-

a

2

，故切線方程為y-（

1

3

-

a

2

）=（1-a）（x-1），與坐標軸的交點為（0，

2

3

-

a

2

），（

2 3 - a 2

1-a

，0），由此能求出三角形面積的最小值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3-x，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，得x=±1，
當x∈[-2，-1]時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（-2）=

1

3

×（-2）³-（-2）=-

2

3

，f（-1）=-

1

3

+1=

2

3

．
當x∈[-1，1]時，f′（x）＜0，f（x）遞減，f（1）=

1

3

-1=-

2

3

，
當x∈[1，3]時，f′（x）＞0，f（x）遞增，f（3）=

27

3

-3=6．
∴f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值為f（3）=6，
要使得不等式f（x）＜k-2005對于x∈[-2，3]恒成立，
則6＜k-2005恒成立，解得k＞2011，
所以最小的正整數(shù)k為2012．
（2）∵g（x）=f（x）-

1

2

ax2+x=

x3

3

-

ax2

2

，
∴g′（x）=x²-ax，g（1）=

1

3

-

a

2

，
y=g（x）在（1，g（1））處的切線的斜率為g′（1）=1-a，
故切線方程為y-（

1

3

-

a

2

）=（1-a）（x-1），
化簡得y-（1-a）x+

2

3

-a=0，與坐標軸的交點為（0，

2

3

-

a

2

），（

2 3 - a 2

1-a

，0），
又∵a≥2，∴

2

3

-

a

2

＜0，

2 3 - a 2

1-a

＞0，
所以面積S=

1

2

×(

a

2

-

2

3

)×

2 3 - a 2

1-a

=

1

2(a-1)

（

a

2

-

2

3

）²，
∵S為遞增函數(shù)，
∴當a=2時，面積S_min=

1

2

×(1-

2

3

)2=

1

18

．

點評：本題考查滿足條件的最小實數(shù)值的求法，考查三角形面積的最小值的求法．綜合性強，難度大，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．