Question

一直線被兩直線l₁：4x+y+6=0，l₂：3x-5y-6=0截得線段的中點(diǎn)是P點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)分別為（0，0），（0，1）時(shí)，求此直線方程．

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，設(shè)所求直線的方程為y=kx，又設(shè)該直線直線l₁交點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，代入直線方程可得縱坐標(biāo)為ka，把交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l₁得到關(guān)于a與k的方程，記作①，然后由P和剛才的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出另一交點(diǎn)的坐標(biāo)，把另一交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l₂得到關(guān)于a與k的另一方程，記作②，聯(lián)立①②，即可求出k的值，得到所求直線的方程；
當(dāng)P坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，同理可得所求直線的方程．
解答：解：當(dāng)P點(diǎn)為（0，0）時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx，
設(shè)該直線與直線l₁交點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，則交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，ka），
代入直線l₁得：4a+ka+6=0①，
由該直線被兩直線l₁：4x+y+6=0，l₂：3x-5y-6=0截得線段的中點(diǎn)是（0，0），
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得另一交點(diǎn)為（-a，-ka），代入直線l₂得：3（-a）-5（-ka）-6=0②，
聯(lián)立①②，解得k=-，
所以直線方程為：y=-x即x+6y=0；
當(dāng)P點(diǎn)為（0，1）時(shí)，設(shè)直線方程為y=mx+1，
設(shè)該直線與直線l₁交點(diǎn)橫坐標(biāo)為b，則交點(diǎn)坐標(biāo)為（b，mb+1），
代入直線l₁得：4b+mb+7=0③，
由該直線被兩直線l₁：4x+y+6=0，l₂：3x-5y-6=0截得線段的中點(diǎn)是（0，1），
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得另一交點(diǎn)為（-b，1-mb），代入直線l₂得：3（-b）-5（1-mb）-6=0④，
聯(lián)立③④，解得m=-，
所以直線方程為：y=-x+1即x+2y-2=0．
綜上，當(dāng)P點(diǎn)分別為（0，0），（0，1）時(shí)，所求直線方程分別為x+6y=0，x+2y-2=0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡求值，理解兩直線交點(diǎn)的意義，會(huì)利用待定系數(shù)法求直線的解析式，是一道中檔題．