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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          （I）試證明柯西不等式：
          


          （II）已知，且，求的最小值．
          


           
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】






          （1）對于不等式的證明可以運用綜合法也可以運用分析法來得到。也可以運用作差法加以證明。
          


          （2）根據題意，由于，那么結合均值不等式來求解最值。
          


          【解析】
          


          試題分析：（Ⅰ）證明：左邊=,
          


          右邊=,
          


          左邊右邊 ,        2分
          


          左邊右邊, 命題得證.        3分
          


          （Ⅱ）令，則, 
          


          ,     , 
          


          ,
          4分
          


          由柯西不等式得：,           5分
          


          當且僅當，即，或時    
6分
          


          的最小值是1
.           7分
          


          解法2：, , 
          


          ,  
4分
          


          ，     5分
          


          當且僅當，或時   6分
          


          的最小值是1.     7分
          


          考點：不等式的證明與求解最值
          


          點評：主要是考查了不等式的證明，以及均值不等式求解最值的運用，屬于中檔題。
          


           
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•廈門模擬）本小題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選兩題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
          （1）選修4-2：矩陣與變換
          已知e1=
          1
          1
          是矩陣M=
          a
           1
          0
           b
          屬于特征值λ1=2的一個特征向量．
          （I）求矩陣M；
          （Ⅱ）若a=
          2
          1
          ，求M10a．
          （2）選修4-4：坐標系與參數方程
          在平面直角坐標系xOy中，A（l，0），B（2，0）是兩個定點，曲線C的參數方程為
          AB
          為參數）．
          （I）將曲線C的參數方程化為普通方程；
          （Ⅱ）以A（l，0為極點，|
          AB
          |為長度單位，射線AB為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
          （3）選修4-5：不等式選講
          （I）試證明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；
          （Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求
          1
          (x+y
          )
          2
           
          +
          1
          (x-y
          )
          2
           
          的最小值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：044
			
          

						
          證明柯西不等式的推論：設a1 ，a2 ，… a n為正實數
          

          則：
          

           
          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：數學教研室
				題型：044
			
          

						
          證明柯西不等式的推論：設a1 ，a2 ，… a n為正實數
          

          則：
          

           
          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：2012年福建省廈門市高三5月適應性考試數學試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          本小題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選兩題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
          （1）選修4-2：矩陣與變換
          已知是矩陣屬于特征值λ1=2的一個特征向量．
          （I）求矩陣M；
          （Ⅱ）若，求M10a．
          （2）選修4-4：坐標系與參數方程
          在平面直角坐標系xOy中，A（l，0），B（2，0）是兩個定點，曲線C的參數方程為為參數）．
          （I）將曲線C的參數方程化為普通方程；
          （Ⅱ）以A（l，0為極點，||為長度單位，射線AB為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
          （3）選修4-5：不等式選講
          （I）試證明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；
          （Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．
          

			
          

			
          
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