Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 的定義域為（﹣1，1），滿足f（﹣x）=﹣f（x），且f（ ）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（x2﹣1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，f（x）為奇函數(shù)；

∴f（0）=b=0，則 ；

又 ；

∴a=1；

∴

（2）解：設(shè)﹣1＜x1＜x2＜1，則：

= ；

又﹣1＜x1＜x2＜1；

∴ ；

∴f（x1）﹣f（x2）＜0；

即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；

（3）解：由f（x2﹣1）+f（x）＜0得f（x2﹣1）＜﹣f（x）；

即f（x2﹣1）＜f（﹣x）；

由（2）知f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，則 ；

∴原不等式的解集為

【解析】（1）根據(jù)條件即可得出f（x）為奇函數(shù)，原點有定義，從而f（0）=0，得出b=0，再由f（ ）= 即可求出a=1；（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的﹣1＜x1＜x2＜1，然后作差，通分，證明f（x1）＜f（x2），從而便得出f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；（3）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)便可得出f（x2﹣1）＜﹣f（x），由f（x）在（﹣1，1）上為增函數(shù)即可得到不等式組 ，解該不等式組便可得出原不等式的解集．